内容来源：https://www.quantamagazine.org/in-hilbert-space-all-things-are-quantumly-possible-20260826/

内容总结：

在量子力学的核心，存在着几条关于如何运用这一理论的“神圣法则”。首要的一条大致是：不要去想普通物体如何在寻常空间中穿行。相反，量子力学以极其精细的方式，预测一个物体在未来所有可能的存在状态。探索这些可能的未来，需要追踪一个完全不同的数学对象——一个被称为“矢量”的箭头，它指向一个广阔而陌生的领域。

这些箭头并不指向某个具体位置。“它比那要抽象得多，”加拿大滑铁卢圆周理论物理研究所的物理学家卢西恩·哈迪表示，它们“实际上指向的是可能性空间中的一个方向”。这个可能性空间被称为“希尔伯特空间”，它充当着量子物理学的主要舞台。

早期的量子先驱们最初并未意识到，这种精确捕捉原子行为的深奥数学，其实已经脱离了现实世界。是富有远见的数学物理学家约翰·冯·诺依曼，率先认识到并将量子世界定义为希尔伯特空间。一旦他完成这一壮举，对希尔伯特空间的深入探索便引导物理学家们对量子物理学有了更深刻、更统一的理解。

什么是希尔伯特空间？

冯·诺依曼的“法则”（或称公理），是他为了厘清20世纪20年代相继出现的两种不同形式的量子力学而制定的。首先是1925年维尔纳·海森堡提出的“矩阵力学”，它使用晦涩的表格和层层叠叠的数字来推算电子围绕原子跃迁到更高或更低轨道的概率。次年，埃尔温·薛定谔引入了他的“波动力学”，利用波来追踪粒子在空间某处被发现的概率。尽管这两位物理学家所描绘的图景截然不同，但它们却得出了完全相同的预测。海森堡和薛定谔实际上是提出了同一理论的两种截然不同的表现形式，但那个理论究竟是什么？

这个问题深深吸引了著名数学家大卫·希尔伯特，他一生致力于将物理学重建在严谨公理的坚实基础上。正是他，在20世纪20年代中期启发了冯·诺依曼思考这个问题。1927年，这位23岁的天才——在保罗·狄拉克的洞见基础上——通过三篇独立完成的系列论文解决了这一难题。

“这些具体想法是冯·诺依曼的，但‘为什么要公理化、目的是什么’的灵感，却是他从希尔伯特那里学来的，”数学史学家利奥·科里如是说。

这些论文阐述了量子力学的规则，仔细定义了理论的核心对象及其行为方式。冯·诺依曼证明，海森堡的数字塔与薛定谔的波，实际上是同一实体的不同映射，就像0.5和1/2在数轴上表示同一个点一样。它们都代表了量子力学中的“主角”：量子态。

万物皆有“态”。一枚硬币可以是正面或反面；落地钟的钟摆在摆动时可以处于无数个位置。物理学的大部分工作就在于捕捉物体的状态并预测其如何变化。

冯·诺依曼的量子规则使“态”的概念变得复杂。在你观察一个量子物体之前，它并不具备诸如特定位置之类的固定属性。相反，它拥有量子力学所特有的各种可能属性的组合——“量子叠加态”。例如，一个叠加态结合了粒子所有可能被找到的位置。这些可能性是精确且有信息量的：也许你有99%的概率在左边找到粒子，1%的概率在右边。你知道该如何下注，但只有亲眼看到才能确定是否获胜。

冯·诺依曼将量子态表示为一种被称为“矢量”的数学箭头。这个箭头指向某个空间中的某个方向，这个空间囊括了任何量子物体所有可能的未来——即希尔伯特空间。

想象一个具有红、黄、绿三种可能状态的量子交通灯。它的箭头存在于一个三维希尔伯特空间中，三个轴分别代表三种可能的未来颜色。在被观察之前，灯没有确定的颜色，而是多种可能颜色的混合体。因此，它的箭头指向空间的中心区域。箭头越是靠近比如红色轴，灯亮起红色的可能性就越大。

从电子到星系，任何物体的状态都可以用这样一个指向希尔伯特空间某个方向的矢量来捕捉。这就是冯·诺依曼量子力学的第一条法则。

希尔伯特空间内发生了什么？

箭头在希尔伯特空间中的移动有两种方式，这由冯·诺依曼的其他法则规定。

第一种方式对应观察发生之前的情况。随着外界影响物体、改变其状态，箭头会在希尔伯特空间中平滑地转动。它可能变得更靠近绿色轴（使我们的交通灯更可能被测量为绿色），或是红色或黄色轴。关键在于，这一切都是平滑且可预测地发生的。

然后，如果你真的观察了这个系统，矢量会瞬间且随机地“啪”地一声落在红色、黄色或绿色轴上。它与哪个轴越对齐，就越有可能跳到那个轴上，但其最终命运是不可预测的。假设它变成了绿色。你会观察到绿灯，并且在后续测量中它仍有100%的概率是绿色，因为箭头已完全对齐绿色轴。量子叠加态就此消失。

希尔伯特空间的性质是什么？

一个物体可能的未来越多，它的希尔伯特空间就越大。一个像硬币一样只有两种可能的粒子被称为“量子比特”，是量子计算机的计算基础，拥有二维希尔伯特空间。我们三色交通灯则拥有三维希尔伯特空间。但这仅仅是开始。一个自由漂浮的粒子可能在宇宙任何位置被发现，因此它的希尔伯特空间必须包含无限多个维度。

根据冯·诺依曼的法则，这个“大小”（无论是二维还是无限维）是希尔伯特空间唯一的基本特征。坐标轴是任意的，由我们想象出来，并非空间固有的。

以电子为例。它有一个状态，一个指向广阔希尔伯特空间的箭头。这个空间涵盖了所有可能的测量——能量、位置、动量等。如果你想知道电子可能在哪里，你可以用代表可能位置的轴来标记空间。如果你想知道粒子可能去向何方，你可以应用另一组代表可能动量的轴。无论你打算进行何种测量，底层的希尔伯特空间保持不变。

这种按照我们的需要来划分希尔伯特空间的自由，正是海森堡和薛定谔能够提出同一理论两种不同版本的原因。海森堡的图景本质上是设置坐标轴并让它们绕矢量旋转，而薛定谔的图景则相反：设置固定坐标轴，让矢量相对它们旋转。这是对同一希尔伯特空间中同一箭头的两种完全不同的数学视角。

在1927年的第一篇论文中，冯·诺依曼列出了定义这样一个空间的两个数学标准。首先，它必须是“完备的”，即不能缺少任何区域或点。其次，必须能计算某个状态与某个轴之间的对齐程度，你可以想象一道光垂直照在箭头上，使其在一个轴上投下阴影（阴影越长，说明箭头与该轴对齐程度越高）。空间必须允许这种被称为“内积”的运算。任何具备这两个特征的空间，无论其大小或来源，都是希尔伯特空间。

“这是创建我们今天所说的‘希尔伯特空间量子力学’的重要一步，”伦敦政治经济学院物理学哲学家米克洛什·雷代伊评价道，“这是数学概括或抽象化如何发生的绝佳范例。”

冯·诺依曼称这些抽象空间为“希尔伯特空间”，因为他的导师希尔伯特是20世纪初第一个探索特定无限维空间的数学家。希尔伯特的研究依赖于这些空间的完备性和内积运算，但他并未想到它们属于更广泛的一类空间，直到他的门生将它们归为一类。这位年长的数学家或许会惊讶地发现自己的名字与这种新的数学结构联系在一起。“冯·诺依曼博士，我真的很想知道，这些希尔伯特空间到底是什么？”据报道，希尔伯特在1929年的一次讲座上曾这样问道。

希尔伯特空间是真实的，还是仅仅是一种抽象？

在量子力学诞生一个世纪后的今天，该理论让物理学家们处于一个尴尬的境地。我们生活在一个物体在三维物理空间中移动改变位置的世界里，但我们最基本的理论却发生在别处——在冯·诺依曼那广阔的可能性领域中。这对我们世界的现实性，或者希尔伯特空间的现实性，意味着什么？

约翰斯·霍普金斯大学的哲学家兼物理学家肖恩·卡罗尔认为，信息很明确。他在2022年的一篇论文中主张，如果量子力学是自然的基本理论，那么希尔伯特空间就应该被视为现实的基本“剧场”。他的研究方向之一，就是试图从囊括了宇宙所有可能方式的、令人困惑的希尔伯特空间中，提炼出我们所熟悉的这个世界。

其他物理学家则持更务实的态度。普林斯顿大学的物理学家乔纳森·索尔斯表示，希尔伯特空间是一个方便的数学构造，在描述许多（但非全部）量子系统时非常有用。他所属的研究群体正在寻找一种数学构造，能将时空结构描述为量子物体。这种理论是回答诸如黑洞中心发生了什么等重大问题的先决条件。

提出这些问题的物理学家们，最近将目光聚焦在一个更加抽象的空间上，这个空间似乎特别适合他们的研究目的。这种空间由你可以对希尔伯特空间进行的操作构成，比如以不同方式切割它，或将其一部分旋转到另一部分。在这个舞台上，他们发现黑洞似乎不再那么神秘。

这类“超空间”如今被称为“冯·诺依曼代数”。冯·诺依曼本人曾协助发展这一理论，作为解决困扰他的一些希尔伯特空间逻辑不一致问题的潜在方案。“我想作一个可能显得不道德的忏悔：我不再相信希尔伯特空间了，”他在1935年的一封信中探讨代数的优点时写道。

就索尔斯而言，他并不认同冯·诺依曼那种“用一个空间统治所有空间”的愿望。他满足于使用最适合他所研究的量子对象的任何数学构造。通常是希尔伯特空间，有时是冯·诺依曼代数，偶尔甚至可能是数学家们上个世纪发明的其他众多空间之一。“这些空间就像个动物园，种类繁多，”他说。

中文翻译：

在希尔伯特空间中，万物皆有可能以量子方式发生

量子力学的核心在于几条关于如何运用该理论的神圣规则。首先且最重要的规则大致是：你不应去思考普通物体此刻正如何在普通空间中飞速运动。相反，量子力学以极为精妙的方式预测的是一个物体未来可能呈现的所有状态。探索这些可能的未来，需要追踪一种完全不同的数学对象——一种被称为矢量的箭头，它指向一个广阔而陌生的领域。

这些箭头并不指向某个位置。“那是一个比这抽象得多的空间，”加拿大滑铁卢圆周理论物理研究所的物理学家卢西恩·哈迪说。它们“实际上指向的是可能性空间中的一个方向”。

这个可能性空间被称为希尔伯特空间，它充当着量子物理学的主要舞台。

早期的量子先驱们起初并未意识到，这种惊人地捕捉到原子行为的深奥数学已经将现实世界抛在了身后。是一位具有远见卓识的数学物理学家约翰·冯·诺伊曼认识到并将量子世界定义为希尔伯特空间。一旦他做到了这一点，探索希尔伯特空间的方方面面便引导物理学家们对量子物理学有了更深入、更统一的理解。

以下便是冯·诺伊曼量子物理学第一定律的由来，以及如何理解它。

什么是希尔伯特空间？

冯·诺伊曼的定律（或称公理）是他用来理解20世纪20年代接连发展出的两种不同形式的量子力学的方式。首先是1925年维尔纳·海森堡提出的“矩阵力学”。它使用晦涩难懂的表格，以及在后来的表述中，用无穷无尽的数字塔来计算围绕原子运动的电子跃迁到更高或更低轨道的概率。第二年，埃尔温·薛定谔提出了他的“波动力学”。它使用波来追踪，例如，粒子在空间某个位置被找到的概率。虽然这两位物理学家所描绘的图景看起来截然不同，但它们却得出了相同的预测。海森堡和薛定谔提出了同一理论的两种截然不同的表现形式。但那个理论究竟是什么？

这个问题引起了著名数学家大卫·希尔伯特的兴趣，他毕生致力于在清晰公理的坚实基础上重建物理学。他在20世纪20年代中期让冯·诺伊曼开始思考这个问题。1927年，这位23岁的天才——基于保罗·狄拉克的见解——通过三篇独著的系列论文解决了这个问题。

MacTutor

“这些想法具体来说是冯·诺伊曼的，但灵感——为什么要公理化，目的是什么——这是他从希尔伯特那里学来的，”数学史学家利奥·科里说。

这些论文阐述了量子力学的规则，仔细定义了该理论的核心对象及其行为方式。冯·诺伊曼证明，海森堡的数字塔和薛定谔的波是同一实体的反映，就像0.5和½表示数轴上的同一个点一样。它们都代表了量子力学中的主角：量子态。

每个事物都有一种状态。一枚硬币可以是正面或反面。落地钟的钟摆在摆动时可以处于任意多个位置。大部分物理学归结为捕捉物体的状态并预测它将如何变化。

冯·诺伊曼的量子规则使“状态”的概念变得复杂。在你观察一个量子物体之前，它并不具有一套固定的属性，比如一个特定的位置。相反，它拥有一种量子力学所独有的可能属性的组合——一种“量子叠加”。例如，叠加态组合了粒子可能最终出现的所有可能位置。这些可能性可以是精确且信息丰富的；也许你有99%的机会发现粒子在你的左边，1%的机会发现它在你的右边。你知道该如何下注，但在查看之前你无法确定自己是否赢了。

冯·诺伊曼将量子态表示为一个称为矢量的数学箭头。这个箭头在某个空间中指向某个方向，该空间捕捉了任何量子物体的所有可能未来——这就是希尔伯特空间。

想象一个具有三种可能状态——红、黄、绿——的量子交通灯。它的箭头存在于一个三维希尔伯特空间中，其中三个轴代表三种可能的未来颜色。在灯被观察到的那一刻之前，它没有颜色，而是具有各种可能颜色的混合。因此它的箭头指向空间的中心区域。箭头越接近某个轴（比如红色轴），灯发出红光的可能性就越大。

任何物体的状态，从电子到星系，都可以通过这样一个矢量来捕捉，它在这样一个希尔伯特空间中指向某个方向。这就是冯·诺伊曼的量子力学第一定律。

希尔伯特空间中会发生什么？

箭头在希尔伯特空间中以两种方式之一移动。冯·诺伊曼的其他定律规定了具体方式。

第一种可能性对应于观察发生之前的情况。当世界影响物体、改变其状态时，箭头在希尔伯特空间中平滑地转动。它可能更接近绿色轴，这将使我们的交通灯更有可能被测量为绿色，或者更接近红色或黄色轴。关键在于，这一切都是平滑且可预测地发生的。

然后，如果你真的观察这个系统，矢量将瞬间随机地跳到红色、黄色或绿色轴上。它与某个轴越对齐，就越有可能跳到该轴而不是其他轴，但它的最终命运是不可预测的。假设它变成了绿色。你将观察到绿灯，并且在后续测量中它仍然有100%的几率是绿色，因为箭头已完全与绿色轴对齐。量子叠加态不复存在。

哪些属性定义了希尔伯特空间？

一个物体拥有的可能未来越多，它的希尔伯特空间就越大。一个具有两种可能未来的类硬币粒子是一个“量子比特”，是量子计算机的计算基石。它有一个二维希尔伯特空间。我们的三色交通灯有一个三维希尔伯特空间。但这仅仅是开始。一个自由漂浮的粒子可能出现在宇宙中的任何位置，因此它的希尔伯特空间必须跨越无限多个维度。

根据冯·诺伊曼的规则，这个大小——无论是二维还是无限维——是希尔伯特空间唯一的基本特征。轴是任意的，是我们想象出来的；它们并非空间本身所固有的。

考虑一个电子。它有一个状态，一个箭头，指向一个巨大的希尔伯特空间。它的希尔伯特空间跨越所有可能的测量——能量、位置、动量等等。如果你好奇电子可能在哪里，你可以用代表可能位置的轴来标记这个空间。如果你想知道粒子可能去向何方，你就应用另一组轴，即代表可能动量的轴。无论你打算进行哪种测量，底层的希尔伯特空间都保持不变。

这种按照我们的意愿来划分希尔伯特空间的自由，正是海森堡和薛定谔能够提出同一理论的两种不同版本的原因。海森堡的图景本质上是放入轴并让它们围绕矢量旋转，而薛定谔的图景则相反：它放入一组固定的轴，让矢量相对于它们旋转。它们是在相同的希尔伯特空间中，对相同箭头的两种完全不同的数学视角。

在1927年的第一篇论文中，冯·诺伊曼阐述了定义这样一个空间的两个数学标准。首先，它必须是“完备的”。它不能缺少任何区域或点。其次，你必须能够计算状态与轴之间的对齐程度，你可以通过想象一道光垂直照射到一个箭头上，使其在轴上投下阴影来实现可视化。（阴影越长，箭头与该轴的对齐程度越高。）空间必须允许这种被称为内积的运算。任何具有这两个特征的空间，无论其大小或来源如何，都是希尔伯特空间。

“这是创造我们所称的希尔伯特空间量子力学的重要一步，”伦敦政治经济学院物理学哲学家米克洛什·雷代伊说。“这是数学概括或抽象如何发生的美丽例证。”

冯·诺伊曼将这些抽象空间称为希尔伯特空间，因为他的导师希尔伯特是20世纪初第一位探索具有无限维度的特定空间的数学家。希尔伯特的工作依赖于这些空间是完备的并且具有内积，但他并没有想到它们是更一般的空间类别的实例，直到他的门徒将它们归为一类。这位年长的数学家可能会惊讶地发现自己的名字与这种新的数学结构联系在一起。“冯·诺伊曼博士，我真的很想知道这些希尔伯特空间到底是什么，”据报道希尔伯特在1929年的一次讲座中这样问道。

希尔伯特空间是真实的还是仅仅是一种抽象？

量子力学诞生一个世纪后，该理论使物理学家们处于一个尴尬的境地。我们生活在一个物体在物理三维空间中移动并改变位置的世界里。但我们最基本的理论却发生在别处，在冯·诺伊曼那广阔的可能性领域里。这对于我们世界的实在性，或者希尔伯特空间的实在性，意味着什么呢？

对于约翰斯·霍普金斯大学的哲学家和物理学家肖恩·卡罗尔来说，信息是明确的。他在2022年的一篇论文中论证道，如果量子力学是自然界的基本理论，那么希尔伯特空间就应该被视为实在的基本舞台。他的研究方向之一就是试图从那个囊括了宇宙一切可能方式的令人困惑的希尔伯特空间中提炼出我们所熟悉的世界。

其他物理学家则持更务实的态度。普林斯顿大学的物理学家乔纳森·索斯说，希尔伯特空间是一个方便的数学构造，对于描述许多量子系统极为有用——但并非所有系统。他属于一个研究群体，致力于寻找一种能将时空结构描述为量子对象的数学构造。这样的理论是回答诸如黑洞中心发生了什么等重大问题的先决条件。

提出这些问题的物理学家最近将注意力集中在一个更为抽象的空间上，这个空间似乎特别适合他们的目的。这种空间由你可以对希尔伯特空间进行的操作组成，例如以不同的方式对其进行切分，或将一个切片旋转到另一个切片上。在这个舞台上，他们发现黑洞似乎不那么神秘了。

这种“超级空间”今天被称为冯·诺伊曼代数。冯·诺伊曼本人曾帮助发展它，作为解决困扰他的希尔伯特空间某些逻辑不一致性的潜在方法。“我想做一个可能看起来不道德的坦白：我不再相信希尔伯特空间了，”他在1935年的一封信中写道，同时探讨了代数的优点。

至于索斯，他并不认同冯·诺伊曼那种想要一个空间统治一切的愿望。他满足于使用最适合他所研究的量子对象的任何数学构造。通常是希尔伯特空间。有时是冯·诺伊曼代数。偶尔甚至可能是数学家在过去一个世纪里发明的许多其他空间之一。

“这些东西有一整个动物园，”他说。

英文来源：

In Hilbert Space, All Things Are Quantumly Possible
At the heart of quantum mechanics lie a few sacred rules for how to use the theory. First and foremost is, roughly, that thou shalt not think about ordinary objects presently whizzing through ordinary space. Rather, quantum mechanics predicts — in exquisite detail — all the possible ways that an object might turn out to be in the future. Exploring those possible futures requires tracking an entirely different mathematical object — an arrow known as a vector, one oriented in an expansive, alien domain.
These arrows aren’t pointing at locations. “It’s a much more abstract space than that,” said Lucien Hardy, a physicist at the Perimeter Institute for Theoretical Physics in Waterloo, Canada. They’re “really pointing in a direction in a possibility space.”
This possibility space is called Hilbert space, and it acts as the primary arena for quantum physics.
The early quantum pioneers didn’t realize — at first — that the arcane math that strikingly captured the conduct of atoms had left the real world behind. It took a visionary mathematical physicist, John von Neumann, to recognize and define the quantum world as a Hilbert space. Once he did, exploring the ins and outs of Hilbert space would lead physicists to a deeper, more unified understanding of quantum physics.
Here’s how von Neumann’s first commandment of quantum physics came to be, and how to understand it.
What Is Hilbert Space?
Von Neumann’s commandments, or axioms, were his way of making sense of the two distinct forms of quantum mechanics developed back-to-back in the 1920s. First came Werner Heisenberg’s “matrix mechanics” in 1925. It used inscrutable tables and, in later formulations, interminable towers of numbers to calculate the odds that an electron circling an atom would jump to a higher or lower orbit. The next year, Erwin Schrödinger introduced his “wave mechanics.” It used waves to track, for instance, the probability of a particle being found at a certain location in space. While the pictures evoked by these two physicists looked completely distinct, they yielded identical predictions. Heisenberg and Schrödinger had come up with two radically different incarnations of one theory. But what was that theory?
The question fascinated David Hilbert, a renowned mathematician who had devoted much of his life to rebuilding physics on a sturdy foundation of crisp axioms. He got von Neumann thinking about the problem in the mid-1920s. In 1927 the 23-year-old prodigy — building on insights from Paul Dirac — solved it in a single-author trilogy of papers.
MacTutor
“The ideas specifically were von Neumann’s, but the inspiration — why do you axiomatize and what for — this is something that he took from Hilbert,” said Leo Corry, a historian of mathematics.
These papers laid out the rules for quantum mechanics, carefully defining the theory’s central objects and how they behaved. Von Neumann showed that Heisenberg’s towers and Schrödinger’s waves were reflections of the same entity, just as 0.5 and ½ indicate the same point on the number line. They both represented the main character in quantum mechanics: the quantum state.
Everything has a state. A coin can read heads or tails. A grandfather clock’s bob can take on any number of positions as it swings. Most of physics amounts to capturing an object’s state and predicting how it will change.
Von Neumann’s quantum rules complicate the notion of a state. Before you observe a quantum object, it does not have a fixed set of properties, such as a specific position. Instead it has a combination of possible properties unique to quantum mechanics — a “quantum superposition.” A superposition combines, for instance, all possible places the particle might end up being. Those possibilities can be precise and informative; perhaps there is a 99% chance you’ll find your particle to your left and a 1% chance you’ll find it to your right. You know how to place your bets, but you can’t know for sure if you’ve won until you check.
Von Neumann rendered the quantum state as a mathematical arrow called a vector. This arrow points in some direction through a space capturing all the possible futures of any quantum object — a Hilbert space.
Imagine a quantum traffic light with three possible states — red, yellow, or green. Its arrow exists in a three-dimensional Hilbert space, where the three axes represent the three possible future colors. Until the moment the light is observed, it doesn’t have a color, but rather a mixture of possible colors. So its arrow points into the space’s central region. The more closely the arrow aligns with, say, the red axis, the more likely the light is to shine red.
The state of any object, from an electron to a galaxy, can be captured by such a vector, pointing in some direction through such a Hilbert space. This is von Neumann’s first rule of quantum mechanics.
What Happens in Hilbert Space?
An arrow moves through Hilbert space in one of two ways. Von Neumann’s other commandments specify how.
The first possibility corresponds to what happens before an observation. As the world influences the object, changing its state, the arrow turns smoothly through Hilbert space. It might get closer to the green axis, which would make our traffic light more likely to be measured as green, or to red or yellow. The point is that all this happens smoothly and predictably.
Then, if you actually observe the system, the vector will instantly and randomly snap onto either the red, yellow, or green axis. The more aligned it is with one axis, the more likely it is to snap to that axis instead of the others, but its fate is ultimately unpredictable. Let’s say it goes green. You’ll observe a green light, and there is now a 100% chance that it will still be green in subsequent measurements, because the arrow is fully aligned with the green axis. The quantum superposition is no more.
What Properties Define Hilbert Space?
The more possible futures an object has, the bigger its Hilbert space. A coinlike particle with two possible futures is a “qubit,” the computational building block of quantum computers. It has a two-dimensional Hilbert space. Our three-color traffic light has a three-dimensional Hilbert space. But that’s just the beginning. A freely floating particle could be found in any location in the universe, so its Hilbert space must span an infinite number of dimensions.
This size — whether it’s two dimensions or an infinite number — is the only fundamental feature of a Hilbert space, according to von Neumann’s rules. The axes are arbitrary and imagined by us; they aren’t intrinsic to the space.
Consider an electron. It has one state, one arrow, pointing in a vast Hilbert space. Its Hilbert space spans all possible measurements — energy, position, momentum, etc. If you are curious where the electron might be, you can mark the space with the axes that represent possible positions. If you are wondering where the particle might be going, you apply a different set of axes, those representing possible momenta. No matter which measurement you intend to make, the underlying Hilbert space remains the same.
This freedom to carve up Hilbert space as we see fit is what allowed Heisenberg and Schrödinger to come up with two distinct versions of the same theory. Heisenberg’s picture essentially put in axes and let them rotate around the vector, while Schrödinger’s picture did the opposite: It put in a fixed set of axes and let the vector rotate relative to them. They were two completely different mathematical perspectives on the same arrows, in the same Hilbert spaces.
In the first of his 1927 papers, von Neumann laid out two mathematical criteria that defined such a space. First, it had to be “complete.” It couldn’t be missing any regions or points. And second, you had to be able to calculate the alignment between a state and an axis, which you can visualize by imagining a light shining straight down onto an arrow so it casts a shadow on an axis. (The longer the shadow, the more aligned with that axis the arrow is.) The space had to allow for this operation, known as an inner product. Any space with these two features, no matter its size or origin, was a Hilbert space.
“This was a major step in creating what we call Hilbert space quantum mechanics,” said Miklós Rédei, a philosopher of physics at the London School of Economics. “It’s a beautiful example of how mathematical generalization or abstraction takes place.”
Von Neumann referred to these abstract spaces as Hilbert spaces because his mentor Hilbert had been the first mathematician to explore specific spaces with infinite dimensions in the early 1900s. Hilbert’s work had relied on those spaces being complete and having an inner product, but he didn’t think of them as examples of a more general class of spaces until his protégé grouped them together. The older mathematician may have been surprised to find his name attached to this new mathematical structure. “Dr. von Neumann, I am really curious to know what these Hilbert spaces are, after all,” Hilbert reportedly asked during a 1929 lecture.
Is Hilbert Space Real or Just an Abstraction?
A century after the birth of quantum mechanics, the theory has left physicists in an awkward position. We live in a world where objects change position as they move through three dimensions of physical space. But our most fundamental theory takes place somewhere else, in von Neumann’s vast realm of possibilities. What does that imply about the reality of our world, or that of Hilbert space?
To Sean Carroll, a philosopher and physicist at Johns Hopkins University, the message is clear. If quantum mechanics is the fundamental theory of nature, then Hilbert space should be considered the fundamental theater of reality, he argued in a 2022 paper. One of his lines of research seeks to distill our familiar world from the disorienting Hilbert space that encapsulates all the ways the universe could possibly be.
Other physicists take a more pragmatic stance. Jonathan Sorce, a physicist at Princeton University, says that Hilbert space is a handy mathematical construction that is remarkably useful for describing many quantum systems — but not all of them. He belongs to a community of researchers searching for a mathematical construction that can describe the fabric of space and time as a quantum object. Such a theory is a prerequisite for answering big questions such as what goes on at the heart of a black hole.
Physicists asking these questions have recently focused on an even more abstract space that seems especially well suited for their purposes. This kind of space is made up of the things you could do to a Hilbert space, such as slicing it up in different ways or rotating one slice into another. In this arena, they have found that black holes seem a bit less mysterious.
This sort of über-space is known today as a von Neumann algebra. Von Neumann himself helped develop it as a potential remedy for some logical inconsistencies with Hilbert space that troubled him. “I would like to make a confession which may seem immoral: I do not believe in Hilbert space anymore,” he wrote in a 1935 letter while exploring the virtues of algebras.
Sorce, for his part, doesn’t share von Neumann’s desire for one space to rule them all. He’s content to use whichever mathematical construction best suits the quantum object he’s studying. Often it’s a Hilbert space. Sometimes it’s a von Neumann algebra. And occasionally it might even be one of the many other spaces mathematicians have cooked up over the last century.
“There’s a whole zoo of these things,” he said.